LIMITES

La función f(x) tiende hacia el límite L en p cuando, para todo >0, existe algún >0 tal que, para todo x que cumple 0<|x-p|<, es |f(x)-L|<.
Leamos, traducida al lenguaje corriente, esa definición del límite.
La función efe de equis tiende hacia el límite ele en pe cuando, para todo épsilon positivo, existe algún delta positivo tal que, para todo equis que cumple que el valor absoluto de equis menos pe está comprendido entre cero y delta, el valor absoluto de efe de equis menos ele es menor que épsilon.
Pese a que, desde un punto de vista estrictamente gramatical, no es como para tirar cohetes, esta "definición épsilon-delta" de límite (atisbada por el francés Agustin Louis Cauchy y cincelada finalmente por el alemán Karl Weierstrass) requiere ser meditada muy detenidamente. No en balde ni siquiera Newton o Leibniz, máximos artífices del cálculo, fueron capaces de barruntársela.
Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:0, infinito, 0/infinito, etc
A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser desigualdades o la regla de L'Hopital.
En matemática, más específicamente en el cálculo infinitesimal, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es utilizada para determinar límites que de otra manera sería complicado calcular. La regla dice que, dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si f(x) y g(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista (c puede ser finito o infinito):

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.


KARL WEIERSTRASS

(Ostenfelde, actual Alemania, 1815-Berlín, 1897) Matemático alemán. Hijo de un oficial a las órdenes de Napoleón, Karl era el mayor de cuatro hermanos. Más tarde, su padre ingresó en el servicio de recaudación de impuestos en Prusia, lo que obligó a la familia a trasladarse constantemente. Con catorce años, Karl fue aceptado en la escuela católica de enseñanza secundaria de Paderborn. Ganó algunos premios antes de graduarse, y en 1834, siguiendo los deseos de su padre, ingresó en la Universidad de Bonn para estudiar comercio y finanzas. Sin embargo, estas materias no le interesaban y pasó la mayor parte del tiempo bebiendo, practicando esgrima y leyendo libros de matemáticas.
En 1839 fue aceptado en la Academia de Teología y Filosofía de Münster, donde encontró la inspiración matemática de manos de Christof Guderman. Éste le introdujo en la teoría de las series de potencias, que más tarde serían la base de todo su trabajo. Su primer escrito importante, publicado en 1841, fue un ensayo sobre funciones elípticas.
Durante los quince años siguientes se dedicó a dar clase en una escuela de enseñanza secundaria. En 1854 envió un trabajo sobre funciones abelianas a una publicación matemática de prestigio, y sorprendió a la comunidad matemática con su genio. Por este trabajo recibió el doctorado honorífico de la Universidad de Königsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la Universidad de Berlín.
Abrumado por las enormes responsabilidades de su nuevo cargo, sufrió una crisis nerviosa en 1861, que le apartó de las aulas dos años. A pesar de ello, en 1864 fue ascendido a profesor, cargo que ostentó el resto de su vida. Desafortunadamente, tras los ataques públicos de Kronecker por su apoyo a las ideas de Cantor, y la muerte de su amiga Sonja Kovalevsky, se hundió mentalmente y pasó el resto de su vida en una silla de ruedas hasta que murió víctima de una neumonía.
CAUCHY

Cauchy fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, sin duda uno de los matemáticos más importantes de la historia. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.
Cauchy empezó a educarse tempranamente con su padre Louis François Cauchy (1760-1848) quien ocupó varios puestos públicos menores y era amigo de Lagrange y Laplace.
En 1814 el publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.
Cauchy precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangente.Cauchy consideraba que las funciones en 3 dimensiones que eran derivables eran continuas sin embargo se descubrió que era necesaria una condición de diferenciabilidad para asegurar la continuidad. Pesa sobre el hecho de que estando en la Universidad se adjudicaba teoremas que pertenecian a los alumnos, denominando los teoremas en conjunto con los alumnos que irremediablemente debian de presentar sus trabajos ante Cauchy.