HISTORIA DEL CÁLCULO

El cálculo infinitesimal se utiliza para resolver problemas donde el algebra por si sola no puede; esto es porque el calculo incluye algebra, trigonometria y geometria analitica; se divide en el calculo integral y el calculo diferencial.
Los orígenes del cálculo integral se remontan concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempo (2000 años) para que apareciera. Todo ello ocurrió escencialmente en el siglo XVII.
Los griegos se habían preocupado por intentar explicar lo que es el infinito; para ellos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Aristóteles prohibio el infinito en acto «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuancias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente [...] es por adición o división». Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Eudoxo, (discípulo de Platón y contemporáneo de Aristotéles) hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas; él postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas (debida al descubrimiento de los irracionales).
Pero Arquímedes fue el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente su método (método "mecánico" donde además se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto) se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo, fue recuperado en 1906.La genial idea de siracusano fue considerar las áreas como una colección necesariamente infinita de segmentos.
Como ya mencionamos una razón importante de la aparición del cáclulo fue la aparición de una adecuada representación para los números: la decimal. Junto a Viète, uno de los principales impulsores de la idea fue Simon Stevin quien uso distintos argumentos infinitesimales para calcular centros de gravedad. No obstante fue la necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes (ya en el siglo XVII se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas) Aunque también ayudó un cambio de actitud en la matemática del siglo XVII quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todo tipo -geográficos, científicos, médicos y tecnólogicos. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristótelicas de las que ya hemos hablado. Y finalmente, el descubrimiento de la Geometría analítica de Descartes y Fermat. La importancia de este descubrimiento consiste en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo.
De los dos inventores de la geometría analítica, uno es más conocido como filósofo: Rene Descartes. Presentó su geometría junto con otros dos tratados científicos: la dióptrica y los meteoros y les preparó un prólogo que se convertiría después en uno de los libros de filosofía más conocidos de la historia: El discurso del método. Pierre de Fermat, fue jurista y aficionado a las matemáticas, él publicó muy poco (sus obras aparecieron años después de su muerte editadas por su hijo).
En el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo a los infinitos (que los griegos les habían tenido): Kepler y Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. El primer paso importante se debe a Cavalieri (discípulo de Galileo); él considera áreas formadas por segmentos y volúmenes formados por trozos de áreas planas redescubriendo las bases metodológicas del método mécanico de Arquímedes. Cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente sus resultados(pero no lo consiguió). Las desventajas de su método de indivisibles (poca generalidad, debilidad lógica, excesivos razonamientos y procedimientos geométricos) fueron rapidamente superados por Torricelli, Fermat, Pascal Wallis y Roberval.
Grégoire de Saint-Vicent, jesuita discípulo de Clavius; sus principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum (en ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga, tambien encontró que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos).
John Wallis, miembro fundador de la Royal Society de Londres y editor de obras de Arquímedes que además escribió una Gramática inglesa. Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores númericos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas, en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito (él fue el “inventor”, de ese 8 acostado). Escribio Arithmetica infinitorum. Usando su método aritmético, la inducción incompleta y su intuición llegó a calcular el área de todas las parabolas generalizadas xrcon r racional excluyendo al -1, además de una bellísima fórmula para calcular Pi
Pi = 2·4·4·6·6·8·8····
4 1·3·3·5·5·7·7····
El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge. El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo:1) Método de Exhausión (Arquímedes) 2) Método de los indivisibles (Cavalieri) 3)Aritmética de los infinitos (Wallis) 4)Métodos de las series infinitas (Newton)
El progreso del calculo se fue observando en que cada vez usaban más fórmulas y menos dibujos. La geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Un ejemplo de tales fueron los logaritmos (surgidos de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos cálculos usados por los astrónomos) que fueron descubiertos independientes por Napier y Bürgi (estos terminaron convirtiéndose en una curva a la que se podía calcular su área). Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos paar calcular tangentes. Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos.
Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. Descartes intentó resorverlo sin éxito, siendo Leibniz el primero en resolverlo en la la primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal. De hecho un elemento escencial para el descubrimiento del cálculo era el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de hecho es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es el Teorema fundamental del cálculo.
Pero pasemos ya al Cáculo. Newton en su célebre frase «Si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí a hombros de gigantes» se refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow.
En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo). Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo
El primero en descubrirlo fue Newton, pero su fobia a publicar le hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. Newton gestó el cálculo en sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba Inglaterra. De hecho su primera obra sobre el cálculo De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. La segunda obra de Newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737: De methodis serierum et fluxionum. En ella Newton describe sus conceptos de fluente (es una variable en función del tiempo)y fluxión de la fluente (la derivada respecto al tiempo de la fluente) como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas. Para demostrar la potencia de su cálculo Newton se dedica en unas "pocas" páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, etc que habían ocupado a sus predecesores Leibniz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicar el invento (Newton tardo men publicar sus obras por que sabia que sus fundamentos eran muy “vagos”). Lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas el Acta Eroditorum que el mismo había ayudado a fundar. Durante una estancia en París Leibniz conoce a Huygens quien le induce a estudiar matemáticas. En 1673, luego de estudiar los tratados de Pascal, Leibniz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes. Alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de Newton si lo publica en las mencionadas Actas con el título "Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas". También el él Leibniz resuelve el ya mencionado problema de De Beaune encontrando que la solución era el logaritmo. El siguiente artículo de Leibniz se llamó "Sobre una geometría altamente oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos", también publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En él aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos (la notación "dx" para el diferencial y la S alargada para la integral )