martes, 1 de diciembre de 2009
jueves, 26 de noviembre de 2009
DERIVADA E INTEGRAL
El cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedades, y aplicaciones de la derivada de una función, o lo que es lo mismo, la pendiente de la tangente a lo largo de su gráfica. El proceso de encontrar la derivada se llama derivación o diferenciación.
la integral tambien es conocida como la antiderivada, y nos permite calcular el area bajo una curva; el símbolo de integración, cuyo operador nos indicara la operación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de rasgos históricos hasta llegar a símbolo de una s alargada
la integral tambien es conocida como la antiderivada, y nos permite calcular el area bajo una curva; el símbolo de integración, cuyo operador nos indicara la operación mencionada, ha tenido toda una evolución que fue acompañado de rasgos históricos hasta llegar a símbolo de una s alargada
martes, 10 de noviembre de 2009
HISTORIA DEL CÁLCULO
El cálculo infinitesimal se utiliza para resolver problemas donde el algebra por si sola no puede; esto es porque el calculo incluye algebra, trigonometria y geometria analitica; se divide en el calculo integral y el calculo diferencial.
Los orígenes del cálculo integral se remontan concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempo (2000 años) para que apareciera. Todo ello ocurrió escencialmente en el siglo XVII.
Los griegos se habían preocupado por intentar explicar lo que es el infinito; para ellos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Aristóteles prohibio el infinito en acto «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuancias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente [...] es por adición o división». Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Eudoxo, (discípulo de Platón y contemporáneo de Aristotéles) hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas; él postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas (debida al descubrimiento de los irracionales).
Pero Arquímedes fue el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente su método (método "mecánico" donde además se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto) se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo, fue recuperado en 1906.La genial idea de siracusano fue considerar las áreas como una colección necesariamente infinita de segmentos.
Como ya mencionamos una razón importante de la aparición del cáclulo fue la aparición de una adecuada representación para los números: la decimal. Junto a Viète, uno de los principales impulsores de la idea fue Simon Stevin quien uso distintos argumentos infinitesimales para calcular centros de gravedad. No obstante fue la necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes (ya en el siglo XVII se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas) Aunque también ayudó un cambio de actitud en la matemática del siglo XVII quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todo tipo -geográficos, científicos, médicos y tecnólogicos. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristótelicas de las que ya hemos hablado. Y finalmente, el descubrimiento de la Geometría analítica de Descartes y Fermat. La importancia de este descubrimiento consiste en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo.
De los dos inventores de la geometría analítica, uno es más conocido como filósofo: Rene Descartes. Presentó su geometría junto con otros dos tratados científicos: la dióptrica y los meteoros y les preparó un prólogo que se convertiría después en uno de los libros de filosofía más conocidos de la historia: El discurso del método. Pierre de Fermat, fue jurista y aficionado a las matemáticas, él publicó muy poco (sus obras aparecieron años después de su muerte editadas por su hijo).
En el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo a los infinitos (que los griegos les habían tenido): Kepler y Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. El primer paso importante se debe a Cavalieri (discípulo de Galileo); él considera áreas formadas por segmentos y volúmenes formados por trozos de áreas planas redescubriendo las bases metodológicas del método mécanico de Arquímedes. Cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente sus resultados(pero no lo consiguió). Las desventajas de su método de indivisibles (poca generalidad, debilidad lógica, excesivos razonamientos y procedimientos geométricos) fueron rapidamente superados por Torricelli, Fermat, Pascal Wallis y Roberval.
Grégoire de Saint-Vicent, jesuita discípulo de Clavius; sus principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum (en ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga, tambien encontró que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos).
John Wallis, miembro fundador de la Royal Society de Londres y editor de obras de Arquímedes que además escribió una Gramática inglesa. Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores númericos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas, en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito (él fue el “inventor”, de ese 8 acostado). Escribio Arithmetica infinitorum. Usando su método aritmético, la inducción incompleta y su intuición llegó a calcular el área de todas las parabolas generalizadas xrcon r racional excluyendo al -1, además de una bellísima fórmula para calcular Pi
Pi = 2·4·4·6·6·8·8····
4 1·3·3·5·5·7·7····
El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge. El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo:1) Método de Exhausión (Arquímedes) 2) Método de los indivisibles (Cavalieri) 3)Aritmética de los infinitos (Wallis) 4)Métodos de las series infinitas (Newton)
El progreso del calculo se fue observando en que cada vez usaban más fórmulas y menos dibujos. La geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Un ejemplo de tales fueron los logaritmos (surgidos de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos cálculos usados por los astrónomos) que fueron descubiertos independientes por Napier y Bürgi (estos terminaron convirtiéndose en una curva a la que se podía calcular su área). Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos paar calcular tangentes. Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos.
Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. Descartes intentó resorverlo sin éxito, siendo Leibniz el primero en resolverlo en la la primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal. De hecho un elemento escencial para el descubrimiento del cálculo era el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de hecho es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es el Teorema fundamental del cálculo.
Pero pasemos ya al Cáculo. Newton en su célebre frase «Si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí a hombros de gigantes» se refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow.
En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo). Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo
El primero en descubrirlo fue Newton, pero su fobia a publicar le hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. Newton gestó el cálculo en sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba Inglaterra. De hecho su primera obra sobre el cálculo De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. La segunda obra de Newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737: De methodis serierum et fluxionum. En ella Newton describe sus conceptos de fluente (es una variable en función del tiempo)y fluxión de la fluente (la derivada respecto al tiempo de la fluente) como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas. Para demostrar la potencia de su cálculo Newton se dedica en unas "pocas" páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, etc que habían ocupado a sus predecesores Leibniz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicar el invento (Newton tardo men publicar sus obras por que sabia que sus fundamentos eran muy “vagos”). Lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas el Acta Eroditorum que el mismo había ayudado a fundar. Durante una estancia en París Leibniz conoce a Huygens quien le induce a estudiar matemáticas. En 1673, luego de estudiar los tratados de Pascal, Leibniz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes. Alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de Newton si lo publica en las mencionadas Actas con el título "Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas". También el él Leibniz resuelve el ya mencionado problema de De Beaune encontrando que la solución era el logaritmo. El siguiente artículo de Leibniz se llamó "Sobre una geometría altamente oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos", también publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En él aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos (la notación "dx" para el diferencial y la S alargada para la integral )
Los orígenes del cálculo integral se remontan concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que Arquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempo (2000 años) para que apareciera. Todo ello ocurrió escencialmente en el siglo XVII.
Los griegos se habían preocupado por intentar explicar lo que es el infinito; para ellos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Aristóteles prohibio el infinito en acto «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuancias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente [...] es por adición o división». Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Eudoxo, (discípulo de Platón y contemporáneo de Aristotéles) hizo el primer uso "racional" del infinito en las matemáticas; él postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas (debida al descubrimiento de los irracionales).
Pero Arquímedes fue el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente su método (método "mecánico" donde además se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto) se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo, fue recuperado en 1906.La genial idea de siracusano fue considerar las áreas como una colección necesariamente infinita de segmentos.
Como ya mencionamos una razón importante de la aparición del cáclulo fue la aparición de una adecuada representación para los números: la decimal. Junto a Viète, uno de los principales impulsores de la idea fue Simon Stevin quien uso distintos argumentos infinitesimales para calcular centros de gravedad. No obstante fue la necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes (ya en el siglo XVII se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas) Aunque también ayudó un cambio de actitud en la matemática del siglo XVII quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todo tipo -geográficos, científicos, médicos y tecnólogicos. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristótelicas de las que ya hemos hablado. Y finalmente, el descubrimiento de la Geometría analítica de Descartes y Fermat. La importancia de este descubrimiento consiste en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo.
De los dos inventores de la geometría analítica, uno es más conocido como filósofo: Rene Descartes. Presentó su geometría junto con otros dos tratados científicos: la dióptrica y los meteoros y les preparó un prólogo que se convertiría después en uno de los libros de filosofía más conocidos de la historia: El discurso del método. Pierre de Fermat, fue jurista y aficionado a las matemáticas, él publicó muy poco (sus obras aparecieron años después de su muerte editadas por su hijo).
En el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo a los infinitos (que los griegos les habían tenido): Kepler y Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. El primer paso importante se debe a Cavalieri (discípulo de Galileo); él considera áreas formadas por segmentos y volúmenes formados por trozos de áreas planas redescubriendo las bases metodológicas del método mécanico de Arquímedes. Cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente sus resultados(pero no lo consiguió). Las desventajas de su método de indivisibles (poca generalidad, debilidad lógica, excesivos razonamientos y procedimientos geométricos) fueron rapidamente superados por Torricelli, Fermat, Pascal Wallis y Roberval.
Grégoire de Saint-Vicent, jesuita discípulo de Clavius; sus principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum (en ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga, tambien encontró que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos).
John Wallis, miembro fundador de la Royal Society de Londres y editor de obras de Arquímedes que además escribió una Gramática inglesa. Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores númericos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas, en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito (él fue el “inventor”, de ese 8 acostado). Escribio Arithmetica infinitorum. Usando su método aritmético, la inducción incompleta y su intuición llegó a calcular el área de todas las parabolas generalizadas xrcon r racional excluyendo al -1, además de una bellísima fórmula para calcular Pi
Pi = 2·4·4·6·6·8·8····
4 1·3·3·5·5·7·7····
El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge. El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo:1) Método de Exhausión (Arquímedes) 2) Método de los indivisibles (Cavalieri) 3)Aritmética de los infinitos (Wallis) 4)Métodos de las series infinitas (Newton)
El progreso del calculo se fue observando en que cada vez usaban más fórmulas y menos dibujos. La geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Un ejemplo de tales fueron los logaritmos (surgidos de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos cálculos usados por los astrónomos) que fueron descubiertos independientes por Napier y Bürgi (estos terminaron convirtiéndose en una curva a la que se podía calcular su área). Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos paar calcular tangentes. Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos.
Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. Descartes intentó resorverlo sin éxito, siendo Leibniz el primero en resolverlo en la la primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal. De hecho un elemento escencial para el descubrimiento del cálculo era el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de hecho es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es el Teorema fundamental del cálculo.
Pero pasemos ya al Cáculo. Newton en su célebre frase «Si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí a hombros de gigantes» se refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow.
En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibniz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo). Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo
El primero en descubrirlo fue Newton, pero su fobia a publicar le hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. Newton gestó el cálculo en sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba Inglaterra. De hecho su primera obra sobre el cálculo De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711. La segunda obra de Newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737: De methodis serierum et fluxionum. En ella Newton describe sus conceptos de fluente (es una variable en función del tiempo)y fluxión de la fluente (la derivada respecto al tiempo de la fluente) como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas. Para demostrar la potencia de su cálculo Newton se dedica en unas "pocas" páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, etc que habían ocupado a sus predecesores Leibniz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibniz fue el primero en publicar el invento (Newton tardo men publicar sus obras por que sabia que sus fundamentos eran muy “vagos”). Lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas el Acta Eroditorum que el mismo había ayudado a fundar. Durante una estancia en París Leibniz conoce a Huygens quien le induce a estudiar matemáticas. En 1673, luego de estudiar los tratados de Pascal, Leibniz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes. Alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de Newton si lo publica en las mencionadas Actas con el título "Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas". También el él Leibniz resuelve el ya mencionado problema de De Beaune encontrando que la solución era el logaritmo. El siguiente artículo de Leibniz se llamó "Sobre una geometría altamente oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos", también publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En él aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos (la notación "dx" para el diferencial y la S alargada para la integral )
viernes, 6 de noviembre de 2009
LEIBNIZ VS NEWTON
En cuanto a la invencion del calculo; surgieron varias dudas y controversias.
Uno de los problemas que se resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta por Newton y Leibniz fue el problema de la braquistocrona.. En el número de junio de 1696 de las Actas Eroditorum, Juan Bernoulli lanzó un reto a los mejores matemáticos del mundo. En realidad era un reto encubierto a Newton. Al cabo del año (el plazo original fue de seis meses pero a petición de Liebniz se amplió para que tuvieran tiempo los matemáticos franceses e italianos que se habían enterado tarde) aparecieron cinco soluciones: una de Leibniz, una del mismo Juan Bernoulli, otra de su hermano Jacobo, una del conde Walter de Tschirnhaus, del Marquéz de L'Hospital y una anónima. Todas, excepto la de L'Hospital daban con la solución: la cicloide. El personaje anonimo escogió las Philosophical Transactions para publicar su genial solución que sólo contenía 67 palabras. Un vistazo a la solución fue suficiente para que Juan Bernulli exclamara «tanquam ex ungue leonen», algo así como «¡reconozco al león por sus garras!» pues claro está que era Newton. Años más tarde se aclaró toda la historia. Como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a Newton en particular justo en el momento en que comenzaba la polémica sobre la prioridad para ver si el cálculo de Newton era tan bueno y poderoso para resolverlo. Además, en una carta de Leibniz a Juan Bernulli éste conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá resolverlo. Incluso años después, ya en plena polémica, Leibniz en una reseña a la solución del problema afirmaba el problema no podía ser resuelto sin la ayuda de su recién inventado método que sólo aquellos que habían profundizado lo suficiente en su estudio podían resolverlo: estos eran los Bernoulli, L'Hospital y Newton. Este juego de palabras de Leibniz donde se podía deducir que Newton era un discípulo de suyo fue el otro gran detonante de la guerra de Duillier.
Las suspicacias entre Newton y Leibniz y sus respectivos seguidores, primero sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado del otro, acabaron estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. La disputa se pudo resolver pues los métodos de ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales; por ejemplo Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo de un punto básandose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma (de su fluir) mientras que Leibniz consideraba una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. Incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente distinta. Si el de Newton fue resuelto totalmente mediante el concepto de límite, el de Leibniz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 hasta la aparición del Análisis no estándard de Abrahan Robinson. La polémica en cuestión se fraguó a finales del siglo XVII: por un lado Leibniz no había hecho ninguna alusión al cálculo infinitesimal de Newton (que el mismo Newton le había indicado que existían en sus Epistolae) además que en Holanda se atribuía el cálculo a Leibniz, eso sin contar que los discípulos de Leibniz habían publicado el primer libro sobre el cálculo: el Analyse des infiniment petits que redactó el Marquéz de L'Hospital a partir de las clases particulares que le dio Juan Bernoulli. La respuesta de los segidores de Newton no se hace esperar. Primero el propio Newton hace publicar en el tercer volumen de las obras matemáticas de Wallis, la correspondencia cursada con Leibniz, las Epistolas prior y posterior donde este pedía a Newton le enviase resultados sobre series, luego Fatio de Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibniz de haber plagiado a Newton y como no, en su ya mencionada De quadratura curvarum, Newton alega «En una carta escrita a Sr. Leibniz en 1676 y publicada por Wallis, mencionaba un método por el cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilineas [...] Hace años yo presté un manuscrito conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas de él, lo hago público en esta ocasión ». La respuesta de Leibniz no se hizo esperar.
En una reseña del De quadratura curvarum, publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer a su autor: Leibniz- en 1705 en las Actas se dice «Para entender mejor este libro los siguientes hechos deben ser concidos. Cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias [...] Y por tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. Los elementos de este cálculo han sido publicados por su inventor el Dr. Gottfried Wilhelm Leibniz en estas Actas, y sus varios usos han sido mostrados por él y por los Drs. y hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de L'Hospital. En vez de las diferencias leibnizianas, el Dr. Newton empleó, y ha empleado siempre, fluxiones» donde queda patente la alusión a Leibniz y sus discípulos y a Newton sin que esté claro si éste es uno de aquellos. Esta reseña fue el detonante del mayor ataque contra Leibniz desde las Philosophical Transactions firmado por John Keill quien acusa abiertamente a Leibniz de plagio. Tras la protesta de Leibniz la Royal Society nombra una que luego de varias deliberaciones dictaminó que Newton fue el primero y no acusó a Leibniz. Esta absurda guerra duró hasta principios del siglo XIX cuando finalmente los matemáticos ingleses deciden adoptar la notación leibniziana (que hasta el momento habían ignorado), con gran perjuicio para los matemáticos ingleses ya que la matemática inglesa quedó aislada del resto de la del continente.
domingo, 11 de octubre de 2009
LIMITES
La función f(x) tiende hacia el límite L en p cuando, para todo >0, existe algún >0 tal que, para todo x que cumple 0<|x-p|<, es |f(x)-L|<.
Leamos, traducida al lenguaje corriente, esa definición del límite.
La función efe de equis tiende hacia el límite ele en pe cuando, para todo épsilon positivo, existe algún delta positivo tal que, para todo equis que cumple que el valor absoluto de equis menos pe está comprendido entre cero y delta, el valor absoluto de efe de equis menos ele es menor que épsilon.
Pese a que, desde un punto de vista estrictamente gramatical, no es como para tirar cohetes, esta "definición épsilon-delta" de límite (atisbada por el francés Agustin Louis Cauchy y cincelada finalmente por el alemán Karl Weierstrass) requiere ser meditada muy detenidamente. No en balde ni siquiera Newton o Leibniz, máximos artífices del cálculo, fueron capaces de barruntársela.
Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:0, infinito, 0/infinito, etc
A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser desigualdades o la regla de L'Hopital.
En matemática, más específicamente en el cálculo infinitesimal, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es utilizada para determinar límites que de otra manera sería complicado calcular. La regla dice que, dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si f(x) y g(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista (c puede ser finito o infinito):
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
KARL WEIERSTRASS
(Ostenfelde, actual Alemania, 1815-Berlín, 1897) Matemático alemán. Hijo de un oficial a las órdenes de Napoleón, Karl era el mayor de cuatro hermanos. Más tarde, su padre ingresó en el servicio de recaudación de impuestos en Prusia, lo que obligó a la familia a trasladarse constantemente. Con catorce años, Karl fue aceptado en la escuela católica de enseñanza secundaria de Paderborn. Ganó algunos premios antes de graduarse, y en 1834, siguiendo los deseos de su padre, ingresó en la Universidad de Bonn para estudiar comercio y finanzas. Sin embargo, estas materias no le interesaban y pasó la mayor parte del tiempo bebiendo, practicando esgrima y leyendo libros de matemáticas.
En 1839 fue aceptado en la Academia de Teología y Filosofía de Münster, donde encontró la inspiración matemática de manos de Christof Guderman. Éste le introdujo en la teoría de las series de potencias, que más tarde serían la base de todo su trabajo. Su primer escrito importante, publicado en 1841, fue un ensayo sobre funciones elípticas.
Durante los quince años siguientes se dedicó a dar clase en una escuela de enseñanza secundaria. En 1854 envió un trabajo sobre funciones abelianas a una publicación matemática de prestigio, y sorprendió a la comunidad matemática con su genio. Por este trabajo recibió el doctorado honorífico de la Universidad de Königsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la Universidad de Berlín.
Abrumado por las enormes responsabilidades de su nuevo cargo, sufrió una crisis nerviosa en 1861, que le apartó de las aulas dos años. A pesar de ello, en 1864 fue ascendido a profesor, cargo que ostentó el resto de su vida. Desafortunadamente, tras los ataques públicos de Kronecker por su apoyo a las ideas de Cantor, y la muerte de su amiga Sonja Kovalevsky, se hundió mentalmente y pasó el resto de su vida en una silla de ruedas hasta que murió víctima de una neumonía.
CAUCHY
Cauchy fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, sin duda uno de los matemáticos más importantes de la historia. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.
Cauchy empezó a educarse tempranamente con su padre Louis François Cauchy (1760-1848) quien ocupó varios puestos públicos menores y era amigo de Lagrange y Laplace.
En 1814 el publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.
Cauchy precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangente.Cauchy consideraba que las funciones en 3 dimensiones que eran derivables eran continuas sin embargo se descubrió que era necesaria una condición de diferenciabilidad para asegurar la continuidad. Pesa sobre el hecho de que estando en la Universidad se adjudicaba teoremas que pertenecian a los alumnos, denominando los teoremas en conjunto con los alumnos que irremediablemente debian de presentar sus trabajos ante Cauchy.
Leamos, traducida al lenguaje corriente, esa definición del límite.
La función efe de equis tiende hacia el límite ele en pe cuando, para todo épsilon positivo, existe algún delta positivo tal que, para todo equis que cumple que el valor absoluto de equis menos pe está comprendido entre cero y delta, el valor absoluto de efe de equis menos ele es menor que épsilon.
Pese a que, desde un punto de vista estrictamente gramatical, no es como para tirar cohetes, esta "definición épsilon-delta" de límite (atisbada por el francés Agustin Louis Cauchy y cincelada finalmente por el alemán Karl Weierstrass) requiere ser meditada muy detenidamente. No en balde ni siquiera Newton o Leibniz, máximos artífices del cálculo, fueron capaces de barruntársela.
Hay límites que evaluándolos directamente, se obtiene alguna de las siguientes expresiones:0, infinito, 0/infinito, etc
A estas expresiones se les denomina indeterminaciones, ya que, a simple vista, no está claro cual puede ser el límite (si es que existe). En algunos casos, simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales se puede resolver la indeterminación y calcular el límite. En otros casos, se requerirá el uso de otras herramientas más potentes como pueden ser desigualdades o la regla de L'Hopital.
En matemática, más específicamente en el cálculo infinitesimal, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es utilizada para determinar límites que de otra manera sería complicado calcular. La regla dice que, dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x = c, si f(x) y g(x) tienden ambas a cero cuando x tiende a c, entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista (c puede ser finito o infinito):
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
KARL WEIERSTRASS
(Ostenfelde, actual Alemania, 1815-Berlín, 1897) Matemático alemán. Hijo de un oficial a las órdenes de Napoleón, Karl era el mayor de cuatro hermanos. Más tarde, su padre ingresó en el servicio de recaudación de impuestos en Prusia, lo que obligó a la familia a trasladarse constantemente. Con catorce años, Karl fue aceptado en la escuela católica de enseñanza secundaria de Paderborn. Ganó algunos premios antes de graduarse, y en 1834, siguiendo los deseos de su padre, ingresó en la Universidad de Bonn para estudiar comercio y finanzas. Sin embargo, estas materias no le interesaban y pasó la mayor parte del tiempo bebiendo, practicando esgrima y leyendo libros de matemáticas.
En 1839 fue aceptado en la Academia de Teología y Filosofía de Münster, donde encontró la inspiración matemática de manos de Christof Guderman. Éste le introdujo en la teoría de las series de potencias, que más tarde serían la base de todo su trabajo. Su primer escrito importante, publicado en 1841, fue un ensayo sobre funciones elípticas.
Durante los quince años siguientes se dedicó a dar clase en una escuela de enseñanza secundaria. En 1854 envió un trabajo sobre funciones abelianas a una publicación matemática de prestigio, y sorprendió a la comunidad matemática con su genio. Por este trabajo recibió el doctorado honorífico de la Universidad de Königsberg y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la Universidad de Berlín.
Abrumado por las enormes responsabilidades de su nuevo cargo, sufrió una crisis nerviosa en 1861, que le apartó de las aulas dos años. A pesar de ello, en 1864 fue ascendido a profesor, cargo que ostentó el resto de su vida. Desafortunadamente, tras los ataques públicos de Kronecker por su apoyo a las ideas de Cantor, y la muerte de su amiga Sonja Kovalevsky, se hundió mentalmente y pasó el resto de su vida en una silla de ruedas hasta que murió víctima de una neumonía.
CAUCHY
Cauchy fue pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones, sin duda uno de los matemáticos más importantes de la historia. También investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes, probabilidad y física matemática.
Cauchy empezó a educarse tempranamente con su padre Louis François Cauchy (1760-1848) quien ocupó varios puestos públicos menores y era amigo de Lagrange y Laplace.
En 1814 el publicó la memoria de la integral definida que llegó a ser la base de la teoría de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el análisis infinitesimal adquiere bases sólidas.
Cauchy precisa los conceptos de función, de límite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin tangente.Cauchy consideraba que las funciones en 3 dimensiones que eran derivables eran continuas sin embargo se descubrió que era necesaria una condición de diferenciabilidad para asegurar la continuidad. Pesa sobre el hecho de que estando en la Universidad se adjudicaba teoremas que pertenecian a los alumnos, denominando los teoremas en conjunto con los alumnos que irremediablemente debian de presentar sus trabajos ante Cauchy.
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